W poprzednim artykule wyjaśniliśmy czym jest orbita oraz to, jak zmienić orbitę poprzez zmianę prędkości. Jeśli jednak chcesz dostać się z orbity A na orbitę B, musisz wiedzieć jak bardzo musisz zmienić prędkość. Na szczęście podstawy nie są aż takie trudne.
Podstawowe pojęcia
Na początku warto zapoznać się z podstawowymi pojęciami, takimi jak:
-
a - półoś wielka (ang. semi-major axis) - to połowa dystansu pomiędzy apogeum i perygeum
-
perycentrum - najniższy punkt danej orbity, określany od środka obiektu wokół którego orbitujemy, nie jego powierzchni. Gdy ciało orbituje Ziemię, nazywamy go perygeum.
-
apocentrum - najwyższy punkt orbity, zawsze znajduje się on dokładnie po przeciwnej stronie perycentrum. Gdy ciało orbituje Ziemię nazywamy go apogeum.
-
r - czyli promień orbity. To dystans pomiędzy statkiem kosmicznym a środkiem ciała niebieskiego, wokół którego on orbituje.
-
G - czyli stała grawitacji. Wynosi ona `6,674*10^-11 m^3/(kg*s^2)`. Wyprowadza się to ze skomplikowanego równania, nie jest to istotne.
-
e - ekscentryczność, to wartość pomiędzy 0 a 1 która określa to, jak wielka jest różnica pomiędzy apogeum i perygeum. Im większą wartość przyjmuje ekscentryczność (e), tym bardziej orbita staje się eliptyczna. Jeśli e przyjmuje wartość większą od 1, oznacza to, że statek porusza się po trajektorii ucieczkowej z danego układu.
Jeśli znasz apogeum i perygeum orbity, możesz łatwo i szybko policzyć a (półoś wielką) poprzez dodanie ich do siebie, a następnie podzielenie przez dwa. Istotne jest aby określić apogeum i perygeum od środka ciała niebieskiego oraz to, aby używać metrów a nie kilometrów czy mil. Wszystkie te wartości są ze sobą ściśle powiązane i opisane poprzez to równanie:
`r_p=(1-e)a`
`r_a=(1+e)a`
Gdzie `r_p` to promień od środka ciała niebieskiego do perygeum, a `r_a` to promień od środka ciała niebieskiego do apogeum.
Obliczanie ∆V
Powiedzmy, że chcesz się dostać z niskiej orbity okołoziemskiej (LEO) na transferową orbitę geostacjonarną (GTO), tak jak Falcon 9 podczas większości komercyjnych misji. Aby obliczyć wymaganą ∆V, możesz zastosować następujące równanie:
`v^2=GM(2/r-1/a)`
Gdzie `v` to prędkość podana w `m/s` oraz `M` to masa Ziemi podana w kilogramach.
W naszym przypadku pierwotna orbita to 200x200 kilometrów nad poziomem morza, a docelowa orbita to 35876x200 kilometrów nad poziomem morza. Musimy dodać 6371 km do tych wartości, ponieważ, jak wspominałem wcześniej, do obliczeń używamy wartości określanych od środka ciała niebieskiego, w tym przypadku musimy uwzględnić promień Ziemi. Musimy również pomnożyć wszystko przez 1000, aby otrzymać wartości wyrażone w metrach. (W każdych obliczeniach możemy skorzystać z dostępnych gotowców, jak poprzednio uczyniłem w przypadku wartości G). Aby obliczyć prędkość początkową na orbicie 200 km n.p.m., musimy skorzystać z następujących równań:
`v^2 =5,97219 * 10^24 * 6,674 * 10^-11 * (2/(6,571) * 10^6 - 1/(6,571) * 10^6 )`
`v^2 = 60658036.92`
`v= √60658036.92 ≈ 7788,3 m/s`
Jeśli zrobimy to samo dla drugiej orbity, zmieniając a (półoś wielką) z 6571 km na `(35786+6371+200+6371)/2=24364` km, albo `2,4364*10^7 m`, otrzymamy prędkość `v=10244,8 m/s`.
Jeśli chcemy dodatkowo otrzymać wartość ∆V dla tego manewru, musimy jedynie odjąć od prędkości końcowej prędkość początkową, otrzymamy wtedy `∆V = 2456,5 m/s`, co prawie dokładnie odzwierciedla realne zapotrzebowanie tego manewru na ∆V. Dla pewności podczas wykonywania tego manewru zawsze dodaje się niewielki dodatni margines błędu.
Czemu w tym wpisie opisałem również e (ekscentryczność)? Dla zabawy :) (tak na serio przyda się przy wyjaśnianiu kolejnych zagadnień).